与えられた関数 $2+3t+\frac{1}{48}t^6 + 2\sin(4t)$ のラプラス変換を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $2+3t+\frac{1}{48}t^6 + 2\sin(4t)$ のラプラス変換を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

ラプラス変換の線形性より、各項を個別にラプラス変換してから足し合わせます。

* 定数項 $2$ のラプラス変換:

$L[2] = \frac{2}{s}$

* $3t$ のラプラス変換:

$L[3t] = 3L[t] = 3 \cdot \frac{1}{s^2} = \frac{3}{s^2}$

* $\frac{1}{48}t^6$ のラプラス変換:

$L[\frac{1}{48}t^6] = \frac{1}{48}L[t^6] = \frac{1}{48} \cdot \frac{6!}{s^7} = \frac{1}{48} \cdot \frac{720}{s^7} = \frac{15}{s^7}$

* $2\sin(4t)$ のラプラス変換:

$L[2\sin(4t)] = 2L[\sin(4t)] = 2 \cdot \frac{4}{s^2+4^2} = \frac{8}{s^2+16}$

したがって、全体のラプラス変換は次のようになります。

$L[2+3t+\frac{1}{48}t^6 + 2\sin(4t)] = \frac{2}{s} + \frac{3}{s^2} + \frac{15}{s^7} + \frac{8}{s^2+16}$

3. 最終的な答え

選択肢の中から上記の式と一致するものを探します。選択肢2が一致します。

したがって、答えは

2. $\frac{2}{s} + \frac{3}{s^2} + \frac{15}{s^7} + \frac{8}{s^2+4^2}$

です。