入力 $x=2$ に対して、ラベルA, B, Cのスコアをそれぞれ $f_A(x) = 3x - 2$, $f_B(x) = -3x + 5$, $f_C(x) = 2x + 1$ で計算する。ロジスティック回帰モデル(ソフトマックス関数)を用いて、各ラベルの確率 $p(A|x)$, $p(B|x)$, $p(C|x)$ を求めよ。ただし、確率は0から1の間の実数で表し、小数第4位を四捨五入する。

1. 問題の内容

入力 $x=2$ に対して、ラベルA, B, Cのスコアをそれぞれ $f_A(x) = 3x - 2$, $f_B(x) = -3x + 5$, $f_C(x) = 2x + 1$ で計算する。ロジスティック回帰モデル(ソフトマックス関数)を用いて、各ラベルの確率 $p(A|x)$, $p(B|x)$, $p(C|x)$ を求めよ。ただし、確率は0から1の間の実数で表し、小数第4位を四捨五入する。

2. 解き方の手順

まず、$x=2$のときの各ラベルのスコアを計算する。

$f_A(2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4$

$f_B(2) = -3(2) + 5 = -6 + 5 = -1$

$f_C(2) = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$

次に、ソフトマックス関数を用いて確率を計算する。ソフトマックス関数は、以下の式で表される。

$p(A|x) = \frac{e^{f_A(x)}}{e^{f_A(x)} + e^{f_B(x)} + e^{f_C(x)}}$

$p(B|x) = \frac{e^{f_B(x)}}{e^{f_A(x)} + e^{f_B(x)} + e^{f_C(x)}}$

$p(C|x) = \frac{e^{f_C(x)}}{e^{f_A(x)} + e^{f_B(x)} + e^{f_C(x)}}$

$x=2$を代入して計算する。

$e^{f_A(2)} = e^4 \approx 54.598$

$e^{f_B(2)} = e^{-1} \approx 0.368$

$e^{f_C(2)} = e^5 \approx 148.413$

分母の合計は、$e^{f_A(2)} + e^{f_B(2)} + e^{f_C(2)} \approx 54.598 + 0.368 + 148.413 \approx 203.379$

$p(A|2) = \frac{e^{f_A(2)}}{e^{f_A(2)} + e^{f_B(2)} + e^{f_C(2)}} \approx \frac{54.598}{203.379} \approx 0.26846...$

$p(B|2) = \frac{e^{f_B(2)}}{e^{f_A(2)} + e^{f_B(2)} + e^{f_C(2)}} \approx \frac{0.368}{203.379} \approx 0.001809...$

$p(C|2) = \frac{e^{f_C(2)}}{e^{f_A(2)} + e^{f_B(2)} + e^{f_C(2)}} \approx \frac{148.413}{203.379} \approx 0.72973...$

小数第4位を四捨五入すると、

$p(A|2) \approx 0.268$

$p(B|2) \approx 0.002$

$p(C|2) \approx 0.730$

3. 最終的な答え

$p(A|x) \approx 0.268$

$p(B|x) \approx 0.002$

$p(C|x) \approx 0.730$