N個の質点系における運動量保存則に関する問題です。具体的には、以下の3つの問いに答えます。 (a) 外力が働かない場合に、運動量保存則が $\frac{d}{dt}(\sum_{j=1}^{N} m_j v_j)=0$ と表されることを説明する。 (b) 重心の位置ベクトル $R$ の定義式 $R = \frac{\sum_{j=1}^{N} m_j r_j}{\sum_{j=1}^{N} m_j}$ について、N個の質点が全て同じ質量であるとき、重心ベクトルがどのように表されるかを説明し、その意味を説明する。 (c) 全運動量 $P$ が $P = MV = M\frac{dR}{dt}$ であることを示し、$V$ の意味と物理的意味を説明する。

1. 問題の内容

N個の質点系における運動量保存則に関する問題です。具体的には、以下の3つの問いに答えます。

(a) 外力が働かない場合に、運動量保存則が $\frac{d}{dt}(\sum_{j=1}^{N} m_j v_j)=0$ と表されることを説明する。

(b) 重心の位置ベクトル $R$ の定義式 $R = \frac{\sum_{j=1}^{N} m_j r_j}{\sum_{j=1}^{N} m_j}$ について、N個の質点が全て同じ質量であるとき、重心ベクトルがどのように表されるかを説明し、その意味を説明する。

(c) 全運動量 $P$ が $P = MV = M\frac{dR}{dt}$ であることを示し、$V$ の意味と物理的意味を説明する。

2. 解き方の手順

(a) 運動量保存則の説明

系に外力が働かない場合、各質点に働く力は他の質点からの内力のみです。したがって、質点 $j$ の運動方程式は

$m_j \frac{dv_j}{dt} = F_j = \sum_{k \neq j} F_{kj}$

ここで、$F_{kj}$ は質点 k が質点 j に及ぼす力です。全運動量の時間変化は、

$\frac{d}{dt}(\sum_{j=1}^{N} m_j v_j) = \sum_{j=1}^{N} m_j \frac{dv_j}{dt} = \sum_{j=1}^{N} F_j = \sum_{j=1}^{N} \sum_{k \neq j} F_{kj}$

作用反作用の法則より、$F_{kj} = -F_{jk}$ なので、二重和の中の各項は打ち消し合い、

$\sum_{j=1}^{N} \sum_{k \neq j} F_{kj} = 0$

したがって、

$\frac{d}{dt}(\sum_{j=1}^{N} m_j v_j)=0$

が成り立ちます。

(b) 重心ベクトルの表現と意味

N個の質点が全て同じ質量 $m$ であるとき、全質量 $M = \sum_{j=1}^{N} m_j = Nm$ です。したがって、重心の位置ベクトルは

$R = \frac{\sum_{j=1}^{N} m r_j}{Nm} = \frac{m \sum_{j=1}^{N} r_j}{Nm} = \frac{\sum_{j=1}^{N} r_j}{N}$

これは、各質点の位置ベクトルの算術平均を表しています。つまり、重心は各質点の位置の中央に位置します。

(c) 全運動量の表現と $V$ の意味

全運動量 $P$ は、各質点の運動量の総和なので、

$P = \sum_{j=1}^{N} m_j v_j$

一方、重心の位置ベクトル $R$ は、

$R = \frac{\sum_{j=1}^{N} m_j r_j}{M}$

であり、$M = \sum_{j=1}^{N} m_j$ は全質量です。この式を変形すると、

$MR = \sum_{j=1}^{N} m_j r_j$

この両辺を時間で微分すると、

$M \frac{dR}{dt} = \sum_{j=1}^{N} m_j \frac{dr_j}{dt} = \sum_{j=1}^{N} m_j v_j = P$

したがって、$P = MV = M \frac{dR}{dt}$ が成り立ちます。ここで、$V = \frac{dR}{dt}$ は重心の速度を表します。

全運動量 $P$ は、全質量 $M$ が重心の速度 $V$ で運動しているかのように表されることを意味します。

3. 最終的な答え

(a) 外力が働かないとき、作用反作用の法則から内力は打ち消し合い、$\frac{d}{dt}(\sum_{j=1}^{N} m_j v_j)=0$ となる。

(b) 全ての質点が同じ質量 $m$ のとき、重心の位置ベクトルは $R = \frac{\sum_{j=1}^{N} r_j}{N}$ となり、各質点の位置ベクトルの算術平均を表す。

(c) 全運動量は $P = MV = M \frac{dR}{dt}$ と表され、$V = \frac{dR}{dt}$ は重心の速度を表す。 全運動量$P$は、全質量 $M$ が重心の速度 $V$ で運動しているかのように表される。