## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられたベクトル場やスカラー場に対して、発散（ダイバージェンス）や勾配の発散（ラプラシアン）を計算する問題です。具体的には、以下の4つの問題があります。

1. ベクトル場 $\mathbf{A} = x^2 z \mathbf{e}_x - 2y^3 z^2 \mathbf{e}_y + xy^2 z \mathbf{e}_z$ の点 $(1, -1, 1)$ における発散 $\nabla \cdot \mathbf{A}$ を計算します。

2. スカラー場 $\phi = 2x^3 y^2 z^4$ の勾配の発散 $\nabla \cdot (\nabla \phi)$ を計算します。

3. ベクトル $\mathbf{r} = x\mathbf{e}_x + y\mathbf{e}_y + z\mathbf{e}_z$ および $r = |\mathbf{r}|$ に対して、以下の量を計算します。

(1) $\nabla r^{-3}$

(2) $\nabla \cdot \mathbf{r}$

(3) $\nabla \cdot (r^{-3} \mathbf{r})$

4. ベクトル場 $\mathbf{A} = (x + 3y)\mathbf{e}_x + (y - 2z)\mathbf{e}_y + (x + az)\mathbf{e}_z$ に対して、発散 $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ となるような定数 $a$ を求めます。

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2. 解き方の手順

**[1]**

1. ベクトル場の発散の定義 $\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$ を用います。

2. $\mathbf{A} = x^2 z \mathbf{e}_x - 2y^3 z^2 \mathbf{e}_y + xy^2 z \mathbf{e}_z$ の各成分を偏微分します。

$\frac{\partial A_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 z) = 2xz$

$\frac{\partial A_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-2y^3 z^2) = -6y^2 z^2$

$\frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(xy^2 z) = xy^2$

3. 発散を計算します。

$\nabla \cdot \mathbf{A} = 2xz - 6y^2 z^2 + xy^2$

4. 点 $(1, -1, 1)$ における発散の値を計算します。

$\nabla \cdot \mathbf{A}(1, -1, 1) = 2(1)(1) - 6(-1)^2 (1)^2 + (1)(-1)^2 = 2 - 6 + 1 = -3$

**[2]**

1. スカラー場の勾配の定義 $\nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x}\mathbf{e}_x + \frac{\partial \phi}{\partial y}\mathbf{e}_y + \frac{\partial \phi}{\partial z}\mathbf{e}_z$ を用います。

2. $\phi = 2x^3 y^2 z^4$ の各偏微分を計算します。

$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 6x^2 y^2 z^4$

$\frac{\partial \phi}{\partial y} = 4x^3 y z^4$

$\frac{\partial \phi}{\partial z} = 8x^3 y^2 z^3$

3. 勾配を計算します。

$\nabla \phi = 6x^2 y^2 z^4 \mathbf{e}_x + 4x^3 y z^4 \mathbf{e}_y + 8x^3 y^2 z^3 \mathbf{e}_z$

4. $\nabla \cdot (\nabla \phi) = \nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}$ を用います。

5. $\phi = 2x^3 y^2 z^4$ の二階偏微分を計算します。

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(6x^2 y^2 z^4) = 12xy^2z^4$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}(4x^3yz^4) = 4x^3z^4$

$\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z}(8x^3y^2z^3) = 24x^3y^2z^2$

6. ラプラシアンを計算します。

$\nabla^2 \phi = 12xy^2 z^4 + 4x^3 z^4 + 24x^3 y^2 z^2$

**[3]**

1. $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ であることを利用します。

2. $\nabla r^{-3} = \frac{\partial r^{-3}}{\partial x} \mathbf{e}_x + \frac{\partial r^{-3}}{\partial y} \mathbf{e}_y + \frac{\partial r^{-3}}{\partial z} \mathbf{e}_z$ を計算します。

$\frac{\partial r^{-3}}{\partial x} = -3r^{-4} \frac{\partial r}{\partial x} = -3r^{-4} \frac{x}{r} = -3xr^{-5}$

同様に、$\frac{\partial r^{-3}}{\partial y} = -3yr^{-5}$、$\frac{\partial r^{-3}}{\partial z} = -3zr^{-5}$

3. $\nabla r^{-3} = -3r^{-5} (x\mathbf{e}_x + y\mathbf{e}_y + z\mathbf{e}_z) = -3r^{-5}\mathbf{r}$

4. $\nabla \cdot \mathbf{r} = \frac{\partial x}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial z} = 1 + 1 + 1 = 3$

5. $\nabla \cdot (r^{-3} \mathbf{r}) = \nabla r^{-3} \cdot \mathbf{r} + r^{-3} (\nabla \cdot \mathbf{r})$ を用います。

$\nabla \cdot (r^{-3} \mathbf{r}) = (-3r^{-5}\mathbf{r}) \cdot \mathbf{r} + r^{-3}(3) = -3r^{-5} r^2 + 3r^{-3} = -3r^{-3} + 3r^{-3} = 0$

**[4]**

1. ベクトル場の発散の定義 $\nabla \cdot \mathbf{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}$ を用います。

2. $\mathbf{A} = (x + 3y)\mathbf{e}_x + (y - 2z)\mathbf{e}_y + (x + az)\mathbf{e}_z$ の各成分を偏微分します。

$\frac{\partial A_x}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x + 3y) = 1$

$\frac{\partial A_y}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(y - 2z) = 1$

$\frac{\partial A_z}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x + az) = a$

3. 発散を計算します。

$\nabla \cdot \mathbf{A} = 1 + 1 + a = 2 + a$

4. $\nabla \cdot \mathbf{A} = 0$ となる $a$ を求めます。

$2 + a = 0$

$a = -2$

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3. 最終的な答え

1. $\nabla \cdot \mathbf{A}(1, -1, 1) = -3$

2. $\nabla^2 \phi = 12xy^2 z^4 + 4x^3 z^4 + 24x^3 y^2 z^2$

3. (1) $\nabla r^{-3} = -3r^{-5}\mathbf{r}$

(2) $\nabla \cdot \mathbf{r} = 3$

(3) $\nabla \cdot (r^{-3} \mathbf{r}) = 0$

4. $a = -2$