$6^{20}$ は何桁の数かを求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

1. 問題の内容

$6^{20}$ は何桁の数かを求めます。ただし、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ とします。

2. 解き方の手順

$6^{20}$ の桁数を求めるために、常用対数を取ります。

$\log_{10} 6^{20} = 20 \log_{10} 6$

ここで、$6 = 2 \times 3$ なので、

$\log_{10} 6 = \log_{10} (2 \times 3) = \log_{10} 2 + \log_{10} 3$

問題文より、$\log_{10} 2 = 0.3010$、$\log_{10} 3 = 0.4771$ なので、

$\log_{10} 6 = 0.3010 + 0.4771 = 0.7781$

したがって、

$\log_{10} 6^{20} = 20 \times 0.7781 = 15.562$

ここで、$6^{20} = 10^{15.562} = 10^{15} \times 10^{0.562}$

$10^{15}$ は $1$ の後に $0$ が $15$ 個続くので、桁数は $16$ 桁です。$10^{0.562}$ は $1$ より大きい値なので、$6^{20}$ の桁数は $15+1 = 16$ 桁ではありません。

$\log_{10} 6^{20} = 15.562$ より、$6^{20}$ は $10^{15}$ より大きく $10^{16}$ より小さい数です。

したがって、$6^{20}$ は $16$ 桁の数になります。

3. 最終的な答え

16桁