与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を展開して整理し、簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$ を展開して整理し、簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b+c)(ab+bc+ca)$ を展開します。

$a(ab+bc+ca) + b(ab+bc+ca) + c(ab+bc+ca)$

$= a^2b + abc + ca^2 + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc$

次に、展開した式から $abc$ を引きます。

$a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 3abc - abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + b^2c + ac^2 + bc^2 + 2abc$

この式を因数分解すると、次のようになります。

$a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$