与えられた積分 $\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x \sin x + 9 \cos x$ の微分を計算します。

$\frac{d}{dx}(x \sin x + 9 \cos x) = \sin x + x \cos x - 9 \sin x = x \cos x - 8 \sin x$

ここで、積分を部分分数分解することを考えます。

$\frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$ の形から、$f(x) = x \sin x + 9 \cos x$ とすると、$\frac{d}{dx}(\frac{u}{f(x)}) = \frac{u'f(x) - u f'(x)}{f(x)^2}$ を利用することを考えます。

ここで、$u = - x \cos x - 9 \sin x$ とおくと

$u' = - \cos x + x \sin x - 9 \cos x = x \sin x - 10 \cos x$

$\frac{d}{dx} \left( \frac{-x \cos x - 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) = \frac{(- \cos x + x \sin x - 9 \cos x)(x \sin x + 9 \cos x) - (-x \cos x - 9 \sin x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{(x \sin x - 10 \cos x)(x \sin x + 9 \cos x) - (-x \cos x - 9 \sin x)(x \cos x - 8 \sin x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{x^2 \sin^2 x + 9x \sin x \cos x - 10x \sin x \cos x - 90 \cos^2 x - (-x^2 \cos^2 x + 8x \sin x \cos x - 9x \sin x \cos x + 72 \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{x^2 \sin^2 x - x \sin x \cos x - 90 \cos^2 x + x^2 \cos^2 x + x \sin x \cos x - 72 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{x^2(\sin^2 x + \cos^2 x) - 90 \cos^2 x - 72 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{x^2 - 90 \cos^2 x - 72 \sin^2 x}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} = \frac{x^2 - 18 \cos^2 x - 72 (\cos^2 x + \sin^2 x)}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

$= \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2}$

したがって、積分は

$\int \frac{x^2 + 72}{(x \sin x + 9 \cos x)^2} dx = \int \frac{d}{dx} \left( \frac{-x \cos x - 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} \right) dx = \frac{-x \cos x - 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{-x \cos x - 9 \sin x}{x \sin x + 9 \cos x} + C$