全体集合 $U$ を実数全体とする。2つの集合 $A = \{x | -1 \le x \le 5\}$ と $B = \{x | 1 \le x \le 6\}$ について、次の集合を求めよ。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $A \cap \overline{B}$ (4) $\overline{A} \cap B$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を実数全体とする。2つの集合 $A = \{x | -1 \le x \le 5\}$ と $B = \{x | 1 \le x \le 6\}$ について、次の集合を求めよ。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $A \cap \overline{B}$

(4) $\overline{A} \cap B$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、集合 $A$ と集合 $B$ の両方に属する要素の集合です。

$A = \{x | -1 \le x \le 5\}$

$B = \{x | 1 \le x \le 6\}$

したがって、$A \cap B = \{x | 1 \le x \le 5\}$ となります。

(2) $A \cup B$ は、集合 $A$ または集合 $B$ のいずれかに属する要素の集合です。

$A = \{x | -1 \le x \le 5\}$

$B = \{x | 1 \le x \le 6\}$

したがって、$A \cup B = \{x | -1 \le x \le 6\}$ となります。

(3) $A \cap \overline{B}$ は、集合 $A$ に属し、かつ集合 $B$ に属さない要素の集合です。

$\overline{B} = \{x | x < 1 \text{ または } x > 6\}$

$A = \{x | -1 \le x \le 5\}$

したがって、$A \cap \overline{B} = \{x | -1 \le x < 1\}$ となります。

(4) $\overline{A} \cap B$ は、集合 $A$ に属さず、かつ集合 $B$ に属する要素の集合です。

$\overline{A} = \{x | x < -1 \text{ または } x > 5\}$

$B = \{x | 1 \le x \le 6\}$

したがって、$\overline{A} \cap B = \{x | 5 < x \le 6\}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | 1 \le x \le 5\}$

(2) $A \cup B = \{x | -1 \le x \le 6\}$

(3) $A \cap \overline{B} = \{x | -1 \le x < 1\}$

(4) $\overline{A} \cap B = \{x | 5 < x \le 6\}$