与えられた条件 $F'(x) = 3x^2 + 8x$ と $F(-2) = 3$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分微分関数
2025/3/27

1. 問題の内容

与えられた条件 F(x)=3x2+8xF'(x) = 3x^2 + 8xF(2)=3F(-2) = 3 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) の一般形を求めます。
F(x)=F(x)dx=(3x2+8x)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (3x^2 + 8x) dx
積分を実行すると、
F(x)=x3+4x2+CF(x) = x^3 + 4x^2 + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、与えられた条件 F(2)=3F(-2) = 3 を用いて積分定数 CC の値を決定します。
F(2)=(2)3+4(2)2+C=8+16+C=8+CF(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + C = -8 + 16 + C = 8 + C
F(2)=3F(-2) = 3 より、8+C=38 + C = 3 であるから、C=38=5C = 3 - 8 = -5
したがって、F(x)F(x) は以下のようになります。
F(x)=x3+4x25F(x) = x^3 + 4x^2 - 5

3. 最終的な答え

F(x)=x3+4x25F(x) = x^3 + 4x^2 - 5

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