与えられた条件 $F'(x) = 3x^2 + 8x$ と $F(-2) = 3$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた条件 $F'(x) = 3x^2 + 8x$ と $F(-2) = 3$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ の一般形を求めます。

$F(x) = \int F'(x) dx = \int (3x^2 + 8x) dx$

積分を実行すると、

$F(x) = x^3 + 4x^2 + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、与えられた条件 $F(-2) = 3$ を用いて積分定数 $C$ の値を決定します。

$F(-2) = (-2)^3 + 4(-2)^2 + C = -8 + 16 + C = 8 + C$

$F(-2) = 3$ より、$8 + C = 3$ であるから、$C = 3 - 8 = -5$

したがって、$F(x)$ は以下のようになります。

$F(x) = x^3 + 4x^2 - 5$

3. 最終的な答え

$F(x) = x^3 + 4x^2 - 5$