与えられた $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2-b^2$ の値を求めます。 (3) (2)で求めた $b$ の値を使い、$p$ が定数のとき、不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

与えられた $a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にします。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求め、さらに $a^2-b^2$ の値を求めます。

(3) (2)で求めた $b$ の値を使い、$p$ が定数のとき、不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化します。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \cdot \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3^2 - (2\sqrt{2})^2} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9-8} = 3+2\sqrt{2}$

(2) $a = 3 + 2\sqrt{2}$ の小数部分 $b$ を求めます。

$2\sqrt{2} = \sqrt{8}$ であり、$2 < \sqrt{8} < 3$ なので、$4 < 3+\sqrt{8} < 5$、$4 < a < 6$ である。

$a$ の整数部分は $5$ なので、$b = a - 5 = (3+2\sqrt{2}) - 5 = 2\sqrt{2} - 2$

次に、$a^2 - b^2$ の値を求めます。

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) = (3+2\sqrt{2} + 2\sqrt{2}-2)(3+2\sqrt{2} - (2\sqrt{2}-2)) = (1+4\sqrt{2})(5) = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) 不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が3個で、その和が0となるような $p$ の範囲を求めます。

$4b = 4(2\sqrt{2}-2) = 8\sqrt{2} - 8 = 8(\sqrt{2}-1) \approx 8(1.414-1) = 8(0.414) = 3.312$

$p < x < p + 4b$ を満たす整数 $x$ が3個であり、その和が0となるのは、整数が -1, 0, 1 の場合です。

したがって、不等式を満たす整数が -1, 0, 1 であるとき、

$p < -1$ かつ $1 < p + 4b$ かつ $-2 \ge p$ かつ $2 \ge p+4b$

$p < -1$ かつ $1-4b < p$ かつ $p \le -2$ かつ $p \le 2-4b$

$1-4b < p < -1$

整数 -1, 0, 1 のみを含む範囲は、

$p < -1$ かつ $1 < p + 4b < 2$ のとき、1は含まれず 0が含まれるので、2は含まれない.

$-2<p \le -1$で整数は -1のみ.

$p < -1$かつ$p+4b>1$なので、$p > 1-4b$

和が0になる整数は -1, 0, 1の3個。

$p<-1$ かつ $p+4b > 1$ より、$1-4b < p < -1$

$p<-1$ の範囲で、 $1 <p+4b$を満たす必要があります。

整数が-1,0,1となるには、$p<-1, p+4b>1, p>-2, p+4b < 2$ を満たす必要があります。

$1 - 4b < p < -1$ かつ $-2 < p < 2-4b$

$p < x < p+4b$ の範囲に含まれる整数が $-1, 0, 1$ のとき、

$p < -1, 0, 1 < p+4b$ かつ $-2, 2$ は範囲に含まれない。

$-2 \ge p$ かつ $p+4b \le 2$ かつ $p < -1$ かつ $p+4b > 1$

したがって、 $1 - 4b < p \le -2$ が成立すれば良い.

$1 - 4(2\sqrt{2}-2) < p \le -2$

$1 - 8\sqrt{2} + 8 < p \le -2$

$9 - 8\sqrt{2} < p \le -2$

$9 - 8\sqrt{2} \approx 9 - 8(1.414) = 9 - 11.312 = -2.312$

$-2.312 < p \le -2$

$p<-1$ の範囲では、 $1-4b < p<-1$

$p > -2, p < -1$ から $-2 \le p < -1$ であれば、$x=-1$を含む.

$p > -2$ で、かつ$p+4b<2$であれば$x=1$を含まない.

$-2.312 < p <-2, -2,-1$

$p > -2.312、p<-1

$-2 \le p < -1$

3. 最終的な答え

$9 - 8\sqrt{2} < p \le -1$