問題は以下の通りです。 (1) $(x+2y) + (x-2)i = 0$ を満たす実数 $x, y$ を求めよ。 (2) $(x+3y) + (2x-y)i = 9+4i$ を満たす実数 $x, y$ を求めよ。 (3) 次の複素数の計算をせよ。 (i) $(2+3i) + (3-5i)$ (ii) $(5+3i) - (6-8i)$ (iii) $(5+2i)(2-3i)$ (iv) $(1+2i)^3$

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) $(x+2y) + (x-2)i = 0$ を満たす実数 $x, y$ を求めよ。

(2) $(x+3y) + (2x-y)i = 9+4i$ を満たす実数 $x, y$ を求めよ。

(3) 次の複素数の計算をせよ。

(i) $(2+3i) + (3-5i)$

(ii) $(5+3i) - (6-8i)$

(iii) $(5+2i)(2-3i)$

(iv) $(1+2i)^3$

2. 解き方の手順

(1) 複素数が0になる条件は、実部と虚部がともに0になることです。したがって、

$x+2y = 0$

$x-2 = 0$

という連立方程式を解きます。

(2) 複素数が等しくなる条件は、実部と虚部がそれぞれ等しくなることです。したがって、

$x+3y = 9$

$2x-y = 4$

という連立方程式を解きます。

(3) 複素数の計算は、実部と虚部を分けて計算します。

(i) $(2+3i) + (3-5i) = (2+3) + (3-5)i = 5-2i$

(ii) $(5+3i) - (6-8i) = (5-6) + (3+8)i = -1+11i$

(iii) $(5+2i)(2-3i) = 5(2) + 5(-3i) + 2i(2) + 2i(-3i) = 10 - 15i + 4i - 6i^2 = 10 - 11i + 6 = 16-11i$

(iv) $(1+2i)^3 = (1+2i)(1+2i)(1+2i) = (1+4i+4i^2)(1+2i) = (1+4i-4)(1+2i) = (-3+4i)(1+2i) = -3 - 6i + 4i + 8i^2 = -3 - 2i - 8 = -11-2i$

3. 最終的な答え

(1) $x=2, y=-1$

(2) $x=3, y=2$

(3)

(i) $5-2i$

(ii) $-1+11i$

(iii) $16-11i$

(iv) $-11-2i$