$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。 (2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2-b^2$ の値を求めよ。 (3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は定数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p+4b$ がある。不等式を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化し、簡単にせよ。

(2) $a$ の小数部分を $b$ とするとき、$b$ の値を求めよ。また、$a^2-b^2$ の値を求めよ。

(3) $b$ を(2)で求めた値とし、$p$ は定数とする。$x$ についての不等式 $p < x < p+4b$ がある。不等式を満たす整数 $x$ が全部で3個あり、その3個の整数の和が0となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} = \frac{1}{3-2\sqrt{2}} \cdot \frac{3+2\sqrt{2}}{3+2\sqrt{2}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3+2\sqrt{2}$.

(2) $a = 3 + 2\sqrt{2}$ の小数部分を $b$ とする。

$\sqrt{2} \approx 1.414$ より、$2\sqrt{2} \approx 2.828$ なので、$a = 3 + 2\sqrt{2} \approx 5.828$

$a$ の整数部分は 5 であるから、$b = a - 5 = 3+2\sqrt{2}-5 = 2\sqrt{2}-2$.

$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$.

$a+b = (3+2\sqrt{2}) + (2\sqrt{2}-2) = 1+4\sqrt{2}$.

$a-b = (3+2\sqrt{2}) - (2\sqrt{2}-2) = 5$.

$a^2 - b^2 = (1+4\sqrt{2}) \cdot 5 = 5+20\sqrt{2}$.

(3) $b = 2\sqrt{2}-2$ とする。不等式 $p < x < p+4b$ を満たす整数 $x$ が3個あり、その3個の整数の和が0となる。

$4b = 8\sqrt{2} - 8 \approx 8 \cdot 1.414 - 8 = 11.312 - 8 = 3.312$.

$p < x < p + 4b$ より、整数 $x$ は連続する3つの整数である。

その3つの整数の和が 0 であるから、それらは $-1, 0, 1$ である。

したがって、$p < -1$ かつ $1 < p+4b$ であり、$p < -1$ かつ $2 \le p+4b$ を満たす。

$p < x < p+4b$ より、$p < -1$ かつ $1 < p+4b$ かつ $p+4b < 2$ を満たす必要がある。

$p < -1$ は $-1$ が整数解に含まれる条件。

$2 \le p + 4b$ より、$2 \le p + 8\sqrt{2} - 8$ すなわち $10-8\sqrt{2} \le p$.

$p+4b < 2$ より、$p + 8\sqrt{2} - 8 < 2$ すなわち $p < 10-8\sqrt{2}$.

$4b \approx 3.312$ なので、$-1 < p+4b$ および $1 < p + 4b < 2$ となるには、

$10-8\sqrt{2} \le p < -1$.

$p < x < p+4b$ の範囲に $-1, 0, 1$ が含まれるので、 $-2$ が含まれない、かつ $2$ が含まれない条件を考える。

$p < -1, 0, 1 < p+4b$ より、 $p < -1$ かつ $1 < p+4b$.

$p < -2$ なら $-2$ も含まれるので、$p \ge -2$.

$p+4b < 2$ より、$p+4b < 2$ なので、$p < 2$.

$p \ge -2$ かつ $p < -1$ より、 $-2 \le p < -1$.

このとき、$x=-1, 0, 1$ なので、$p < -1$ かつ $1 < p+4b$.

$-2 \le p < -1$ より、 $10-8\sqrt{2} \le p < -1$ を満たす必要がある。

$10-8\sqrt{2} \approx 10 - 8(1.414) = 10 - 11.312 = -1.312$.

したがって、$-2 \le p < -1.312 < -1$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $a = 3 + 2\sqrt{2}$

(2) $b = 2\sqrt{2}-2$, $a^2 - b^2 = 5 + 20\sqrt{2}$

(3) $10 - 8\sqrt{2} \le p < -1$