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3桁の正の整数 $M$ があり、$M$ は 30 の倍数かつ 36 の倍数である。このような $M$ はいくつあるか。

数論倍数公倍数最小公倍数整数
2025/3/9

1. 問題の内容

3桁の正の整数 MM があり、MM は 30 の倍数かつ 36 の倍数である。このような MM はいくつあるか。

2. 解き方の手順

MM は 30 の倍数かつ 36 の倍数なので、MM は 30 と 36 の公倍数である。
30 と 36 の最小公倍数を求める。
30 = 2 * 3 * 5
36 = 2^2 * 3^2
最小公倍数 LCM(30, 36) = 2^2 * 3^2 * 5 = 4 * 9 * 5 = 180
MM は 180 の倍数である。
MM は 3 桁の整数なので、100≤M≤999100 \le M \le 999
M=180kM = 180k (k は整数) とおくと、100≤180k≤999100 \le 180k \le 999
100180≤k≤999180\frac{100}{180} \le k \le \frac{999}{180}
0.555...≤k≤5.550.555... \le k \le 5.55
kk は整数なので、k=1,2,3,4,5k = 1, 2, 3, 4, 5
したがって、MM は 5 つ存在する。

3. 最終的な答え

5

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