ある品物を1個60円で売ると、1日に50個売れる。この品物の値段を10円上げるごとに、1日の売り上げ個数は5個ずつ減る。1個の値段をいくらにすれば、1日の売上金額が最大になるか。また、そのときの売上金額を求めよ。

1. 問題の内容

ある品物を1個60円で売ると、1日に50個売れる。この品物の値段を10円上げるごとに、1日の売り上げ個数は5個ずつ減る。1個の値段をいくらにすれば、1日の売上金額が最大になるか。また、そのときの売上金額を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、1個の値段を $x$ とすると、売上個数は $50 - 5 \times \frac{x-60}{10} = 50 - \frac{1}{2}(x-60) = 50 - \frac{1}{2}x + 30 = 80 - \frac{1}{2}x$ と表せる。

売上金額 $S$ は、値段 $x$ と売上個数の積なので、以下のように表される。

$S = x(80 - \frac{1}{2}x) = 80x - \frac{1}{2}x^2$

$S$ を最大にする $x$ を求めるために、$S$ を $x$ で微分する。

$\frac{dS}{dx} = 80 - x$

$\frac{dS}{dx} = 0$ となる $x$ を求めると、$x = 80$ となる。

これは、$S$ が最大となる $x$ の候補である。

$x = 80$ のとき、売上個数は $80 - \frac{1}{2} \times 80 = 80 - 40 = 40$ 個となる。

このとき、売上金額 $S$ は、$S = 80 \times 40 = 3200$ 円となる。

次に、値段が60円のときを考える。このとき、売上個数は50個なので、売上金額は、$60 \times 50 = 3000$ 円となる。

$S$ を平方完成して最大値を求める。

$S = -\frac{1}{2}x^2 + 80x = -\frac{1}{2}(x^2 - 160x) = -\frac{1}{2}(x^2 - 160x + 6400 - 6400) = -\frac{1}{2}((x-80)^2 - 6400) = -\frac{1}{2}(x-80)^2 + 3200$

したがって、$x=80$ のとき、$S$ は最大値 3200 をとる。

3. 最終的な答え

1個の値段を80円にすると、1日の売上金額が最大になる。そのときの売上金額は3200円である。