放物線 $C: y=x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ における接線を $L$ とする。$0 < t \le 1$ の範囲で $t$ が動くとき、$L$ と直線 $x=1$ と $x$ 軸とで囲まれる三角形の面積の最大値と、最大値を与える $t$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $C: y=x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ における接線を $L$ とする。$0 < t \le 1$ の範囲で $t$ が動くとき、$L$ と直線 $x=1$ と $x$ 軸とで囲まれる三角形の面積の最大値と、最大値を与える $t$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、放物線 $C: y=x^2$ 上の点 $P(t, t^2)$ における接線 $L$ の方程式を求める。

$y' = 2x$ より、点 $P$ における接線の傾きは $2t$ である。

したがって、接線 $L$ の方程式は、

$y - t^2 = 2t(x - t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2$

$y = 2tx - t^2$

次に、接線 $L$ と $x$ 軸との交点を求める。

$y = 0$ とすると、

$2tx - t^2 = 0$

$2tx = t^2$

$x = \frac{t}{2}$

また、接線 $L$ と直線 $x = 1$ との交点の $y$ 座標は、

$y = 2t(1) - t^2 = 2t - t^2$

三角形の面積 $S$ は、底辺の長さを $1 - \frac{t}{2}$、高さを $2t - t^2$ とすると、

$S = \frac{1}{2} (1 - \frac{t}{2}) (2t - t^2)$

$S = \frac{1}{2} (2t - t^2 - t^2 + \frac{t^3}{2})$

$S = \frac{1}{2} (\frac{t^3}{2} - 2t^2 + 2t)$

$S = \frac{1}{4} (t^3 - 4t^2 + 4t)$

$S$ を $t$ で微分すると、

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{4} (3t^2 - 8t + 4)$

$\frac{dS}{dt} = \frac{1}{4} (3t - 2)(t - 2)$

$\frac{dS}{dt} = 0$ となるのは $t = \frac{2}{3}$ または $t = 2$ のときだが、$0 < t \le 1$ より、$t = \frac{2}{3}$ のみを考える。

$t = \frac{2}{3}$ のとき、$\frac{dS}{dt}$ は正から負に変わるので、$S$ は極大値をとる。

$t = \frac{2}{3}$ のとき、

$S = \frac{1}{4} ((\frac{2}{3})^3 - 4(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}))$

$S = \frac{1}{4} (\frac{8}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8}{3})$

$S = \frac{1}{4} (\frac{8}{27} - \frac{48}{27} + \frac{72}{27})$

$S = \frac{1}{4} (\frac{32}{27})$

$S = \frac{8}{27}$

$t = 1$ のとき、

$S = \frac{1}{4} (1 - 4 + 4) = \frac{1}{4}$

$\frac{8}{27} > \frac{1}{4}$ なので、$t = \frac{2}{3}$ のとき最大値をとる。

3. 最終的な答え

$t = \frac{2}{3}$ のとき最大値 $\frac{8}{27}$