複素数 $z$ が方程式 $2|z-3| = |z|$ を満たすとき、点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを求めます。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が方程式 $2|z-3| = |z|$ を満たすとき、点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを求めます。

2. 解き方の手順

$z = x + yi$ ($x$, $y$ は実数) とおきます。

方程式 $2|z-3| = |z|$ に代入すると、

$2|(x-3) + yi| = |x + yi|$

$2\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$

両辺を2乗すると、

$4((x-3)^2 + y^2) = x^2 + y^2$

$4(x^2 - 6x + 9 + y^2) = x^2 + y^2$

$4x^2 - 24x + 36 + 4y^2 = x^2 + y^2$

$3x^2 - 24x + 3y^2 = -36$

両辺を3で割ると、

$x^2 - 8x + y^2 = -12$

$(x^2 - 8x + 16) + y^2 = -12 + 16$

$(x-4)^2 + y^2 = 4$

これは、中心が $(4, 0)$、半径が $2$ の円を表します。

3. 最終的な答え

中心 $(4, 0)$, 半径 $2$ の円