数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n - 2$ で定義されている。この数列の一般項を求める問題である。まず、$a_{n+1} - k = \frac{3}{2}(a_n - k)$ の形に変形し、$k$ の値を求め、その後、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 2$, $a_{n+1} = \frac{3}{2} a_n - 2$ で定義されている。この数列の一般項を求める問題である。まず、$a_{n+1} - k = \frac{3}{2}(a_n - k)$ の形に変形し、$k$ の値を求め、その後、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(i) $a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n - 2$ を $a_{n+1} - k = \frac{3}{2}(a_n - k)$ の形に変形する。

$a_{n+1} - k = \frac{3}{2}a_n - \frac{3}{2}k$

$a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n - \frac{3}{2}k + k$

$a_{n+1} = \frac{3}{2}a_n - \frac{1}{2}k$

元の漸化式と比較すると、 $-\frac{1}{2}k = -2$ より、 $k = 4$ となる。

(ii) $a_{n+1} - 4 = \frac{3}{2}(a_n - 4)$

数列 $\{a_n - 4\}$ は、初項 $a_1 - 4 = 2 - 4 = -2$, 公比 $\frac{3}{2}$ の等比数列である。

$a_n - 4 = (a_1 - 4) (\frac{3}{2})^{n-1} = -2(\frac{3}{2})^{n-1}$

$a_n = -2(\frac{3}{2})^{n-1} + 4$

3. 最終的な答え

(i) $k = 4$

(ii) $a_n = -2 (\frac{3}{2})^{n-1} + 4$