$\tan 2\alpha$ を $\tan \alpha$ を用いて表す。ただし、$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ を利用してよい。

1. 問題の内容

$\tan 2\alpha$ を $\tan \alpha$ を用いて表す。ただし、$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ を利用してよい。

2. 解き方の手順

$\tan 2\alpha$ は $\tan (\alpha + \alpha)$ と書ける。

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$ に $\beta = \alpha$ を代入すると、

$\tan (\alpha + \alpha) = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha \tan \alpha}$

$\tan (\alpha + \alpha) = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

したがって、

$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$

3. 最終的な答え

$\tan 2\alpha = \frac{2 \tan \alpha}{1 - \tan^2 \alpha}$