関数 $y = 2x^2 - 12x + c$ ($1 \leqq x \leqq 4$) の最大値が5となるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = 2x^2 - 12x + c$ ($1 \leqq x \leqq 4$) の最大値が5となるように、定数 $c$ の値を定め、そのときの最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y=2x^2-12x+c$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 - 6x) + c$

$y = 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + c$

$y = 2(x - 3)^2 - 18 + c$

したがって、この関数の頂点の座標は $(3, -18 + c)$ である。

次に、定義域 $1 \leqq x \leqq 4$ における最大値を考える。

軸 $x = 3$ は定義域に含まれている。

下に凸な放物線なので、軸から遠い方の端点が最大値を取る可能性がある。

$x=1$ のとき、$y = 2(1)^2 - 12(1) + c = 2 - 12 + c = -10 + c$

$x=4$ のとき、$y = 2(4)^2 - 12(4) + c = 32 - 48 + c = -16 + c$

したがって、定義域の左端 $x=1$ で最大値を取る。

問題文より最大値は5なので、 $-10 + c = 5$。

よって $c = 15$ である。

このとき、関数は $y = 2(x - 3)^2 - 18 + 15 = 2(x - 3)^2 - 3$ となる。

頂点の座標は $(3, -3)$ で、これは定義域に含まれている。

したがって、最小値は頂点でとる。

最小値は $-3$ である。

3. 最終的な答え

$c = 15$

最小値：$-3$