与えられた3次式 $2x^3 + 5x^2 + x - 2$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた3次式 $2x^3 + 5x^2 + x - 2$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

因数定理を利用して因数分解を行う。

まず、$P(x) = 2x^3 + 5x^2 + x - 2$ とおく。

$P(x) = 0$ となる $x$ の値をいくつか試す。

$P(1) = 2(1)^3 + 5(1)^2 + 1 - 2 = 2 + 5 + 1 - 2 = 6 \neq 0$

$P(-1) = 2(-1)^3 + 5(-1)^2 + (-1) - 2 = -2 + 5 - 1 - 2 = 0$

よって、$x = -1$ は $P(x) = 0$ の解である。したがって、$P(x)$ は $(x + 1)$ を因数に持つ。

次に、筆算または組み立て除法を用いて $2x^3 + 5x^2 + x - 2$ を $(x + 1)$ で割る。

組み立て除法を行うと、

\begin{array}{c|cccc}

-1 & 2 & 5 & 1 & -2 \\

\hline

& & -2 & -3 & 2 \\

\hline

& 2 & 3 & -2 & 0 \\

\end{array}

したがって、

$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x + 1)(2x^2 + 3x - 2)$

さらに、2次式 $2x^2 + 3x - 2$ を因数分解する。

$2x^2 + 3x - 2 = (2x - 1)(x + 2)$

したがって、

$2x^3 + 5x^2 + x - 2 = (x + 1)(2x - 1)(x + 2)$

3. 最終的な答え

$(x + 1)(2x - 1)(x + 2)$