20個の飴を3兄弟で分ける。三男 < 次男 < 長男となるように飴の数を配分し、かつ三男が可能な限り多くもらうように配分するとき、長男が少なくとも何個もらうことになるか求める。

1. 問題の内容

20個の飴を3兄弟で分ける。三男 < 次男 < 長男となるように飴の数を配分し、かつ三男が可能な限り多くもらうように配分するとき、長男が少なくとも何個もらうことになるか求める。

2. 解き方の手順

まず、三兄弟がもらう飴の数をそれぞれ $x, y, z$ とする。ここで、$x$ が三男、 $y$ が次男、 $z$ が長男がもらう飴の数に対応する。問題文の条件より、$x < y < z$ であり、$x+y+z = 20$ である。三男が可能な限り多くもらうとき、長男は少なくともいくらもらうかという問いなので、$x$ をできるだけ大きくし、その上で $z$ の最小値を考える。

$x < y < z$ という条件を満たすためには、$x+1 \le y$ かつ $y+1 \le z$ である必要がある。したがって、$x+2 \le z$ が成り立つ。

$x+y+z = 20$ に $y \ge x+1$ と $z \ge x+2$ を代入すると、

$x + (x+1) + (x+2) \le 20$

$3x + 3 \le 20$

$3x \le 17$

$x \le \frac{17}{3} = 5.666...$

$x$ は整数なので、 $x \le 5$ である。

$x = 5$ とすると、$y > x$ なので、$y \ge 6$ であり、$z > y$ なので、$z \ge 7$ である。

このとき、$x+y+z = 5+6+7 = 18 < 20$ なので、残りの $20-18 = 2$ 個をどこかに分配する必要がある。

$x < y < z$ を満たしつつ、$z$ を最小にするには、$y$ に1個、$z$ に1個を分配すれば良い。

つまり、$x=5, y=7, z=8$ となる。

このとき、$x+y+z = 5+7+8 = 20$ を満たし、$x < y < z$ を満たしている。

したがって、長男は少なくとも8個もらうことになる。

3. 最終的な答え

8