問題は、合同式 $520x \equiv 1 \pmod{17}$ を満たす $x$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、合同式 $520x \equiv 1 \pmod{17}$ を満たす $x$ を求めることです。

2. 解き方の手順

まず、520を17で割った余りを求めます。

$520 = 17 \times 30 + 10$ なので、$520 \equiv 10 \pmod{17}$ です。

したがって、与えられた合同式は

$10x \equiv 1 \pmod{17}$

となります。

次に、10の法17における逆元を求めます。つまり、$10x \equiv 1 \pmod{17}$ を満たす $x$ を探します。

$10x = 17k + 1$ となる整数 $x, k$ を探します。

$10x - 17k = 1$

これは拡張ユークリッドの互除法で解くことができます。しかし、今回は簡単に試すことができます。

$x = 1, 2, 3, \dots$ で順に試すと、

$x = 1$ のとき、$10 \equiv 10 \pmod{17}$

$x = 2$ のとき、$20 \equiv 3 \pmod{17}$

$x = 3$ のとき、$30 \equiv 13 \pmod{17}$

$x = 4$ のとき、$40 \equiv 6 \pmod{17}$

$x = 5$ のとき、$50 \equiv 16 \equiv -1 \pmod{17}$

よって、$10 \times 5 \equiv -1 \pmod{17}$ より、

$10 \times (-5) \equiv 1 \pmod{17}$

したがって、$x \equiv -5 \equiv 12 \pmod{17}$

つまり、$x = 12$ が解の一つです。

3. 最終的な答え

$x \equiv 12 \pmod{17}$