$m, n$ は整数とする。次の命題を証明する。 (1) $n^2$ が 5 の倍数ならば、$n$ は 5 の倍数である。 (2) $mn$ が 3 の倍数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は 3 の倍数である。

1. 問題の内容

$m, n$ は整数とする。次の命題を証明する。

(1) $n^2$ が 5 の倍数ならば、$n$ は 5 の倍数である。

(2) $mn$ が 3 の倍数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は 3 の倍数である。

2. 解き方の手順

(1) 対偶を証明する。「$n$ が 5 の倍数でないならば、$n^2$ は 5 の倍数でない」ことを示す。

$n$ が 5 の倍数でないとき、$n$ は $5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4$ （$k$ は整数）のいずれかで表せる。

- $n = 5k+1$ のとき、$n^2 = (5k+1)^2 = 25k^2 + 10k + 1 = 5(5k^2 + 2k) + 1$

- $n = 5k+2$ のとき、$n^2 = (5k+2)^2 = 25k^2 + 20k + 4 = 5(5k^2 + 4k) + 4$

- $n = 5k+3$ のとき、$n^2 = (5k+3)^2 = 25k^2 + 30k + 9 = 5(5k^2 + 6k + 1) + 4$

- $n = 5k+4$ のとき、$n^2 = (5k+4)^2 = 25k^2 + 40k + 16 = 5(5k^2 + 8k + 3) + 1$

いずれの場合も、$n^2$ は 5 で割ると 1 または 4 余る。よって、$n^2$ は 5 の倍数ではない。

したがって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

(2) 対偶を証明する。「$m$ も $n$ も 3 の倍数でないならば、$mn$ は 3 の倍数でない」ことを示す。

$m$ も $n$ も 3 の倍数でないとき、$m$ は $3k+1$ または $3k+2$ （$k$ は整数）で表せ、$n$ は $3l+1$ または $3l+2$ ($l$は整数)で表せる。

- $m = 3k+1$ かつ $n = 3l+1$ のとき、$mn = (3k+1)(3l+1) = 9kl + 3k + 3l + 1 = 3(3kl + k + l) + 1$

- $m = 3k+1$ かつ $n = 3l+2$ のとき、$mn = (3k+1)(3l+2) = 9kl + 6k + 3l + 2 = 3(3kl + 2k + l) + 2$

- $m = 3k+2$ かつ $n = 3l+1$ のとき、$mn = (3k+2)(3l+1) = 9kl + 3k + 6l + 2 = 3(3kl + k + 2l) + 2$

- $m = 3k+2$ かつ $n = 3l+2$ のとき、$mn = (3k+2)(3l+2) = 9kl + 6k + 6l + 4 = 3(3kl + 2k + 2l + 1) + 1$

いずれの場合も、$mn$ は 3 で割ると 1 または 2 余る。よって、$mn$ は 3 の倍数ではない。

したがって、対偶が真であるから、元の命題も真である。

3. 最終的な答え

(1) $n^2$ が 5 の倍数ならば、$n$ は 5 の倍数である。（証明終わり）

(2) $mn$ が 3 の倍数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は 3 の倍数である。（証明終わり）