定積分 $\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $-6x^2 - 6x + 5$ の不定積分を求めます。

$\int (-6x^2 - 6x + 5) dx = -6 \int x^2 dx - 6 \int x dx + 5 \int dx$

$= -6 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C$

$= -2x^3 - 3x^2 + 5x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx = [-2x^3 - 3x^2 + 5x]_{1}^{-2}$

$= (-2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 5(-2)) - (-2(1)^3 - 3(1)^2 + 5(1))$

$= (-2(-8) - 3(4) - 10) - (-2 - 3 + 5)$

$= (16 - 12 - 10) - (0)$

$= -6 - 0 = -6$

3. 最終的な答え

-6