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定積分 $\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx$ を計算してください。

解析学定積分積分多項式
2025/3/27

1. 問題の内容

定積分 ∫1−2(−6x2−6x+5)dx\int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 −6x2−6x+5-6x^2 - 6x + 5 の不定積分を求めます。
∫(−6x2−6x+5)dx=−6∫x2dx−6∫xdx+5∫dx \int (-6x^2 - 6x + 5) dx = -6 \int x^2 dx - 6 \int x dx + 5 \int dx
=−6⋅x33−6⋅x22+5x+C = -6 \cdot \frac{x^3}{3} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C
=−2x3−3x2+5x+C = -2x^3 - 3x^2 + 5x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、定積分の値を計算します。
∫1−2(−6x2−6x+5)dx=[−2x3−3x2+5x]1−2 \int_{1}^{-2} (-6x^2 - 6x + 5) dx = [-2x^3 - 3x^2 + 5x]_{1}^{-2}
=(−2(−2)3−3(−2)2+5(−2))−(−2(1)3−3(1)2+5(1)) = (-2(-2)^3 - 3(-2)^2 + 5(-2)) - (-2(1)^3 - 3(1)^2 + 5(1))
=(−2(−8)−3(4)−10)−(−2−3+5) = (-2(-8) - 3(4) - 10) - (-2 - 3 + 5)
=(16−12−10)−(0) = (16 - 12 - 10) - (0)
=−6−0=−6 = -6 - 0 = -6

3. 最終的な答え

-6

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