次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{1-e^x} - \frac{1}{\sin x} \right)$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{1-e^x} - \frac{1}{\sin x} \right)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します。

$\lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{1-e^x} - \frac{1}{\sin x} \right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - (1-e^x)}{(1-e^x) \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x + e^x - 1}{(1-e^x) \sin x}$

この式に直接 $x=0$ を代入すると、分子も分母も0になるため、不定形 $\frac{0}{0}$ となります。したがって、ロピタルの定理を適用します。

まず、分子を微分します。

$\frac{d}{dx} (\sin x + e^x - 1) = \cos x + e^x$

次に、分母を微分します。

$\frac{d}{dx} ((1-e^x) \sin x) = -e^x \sin x + (1-e^x) \cos x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + e^x - 1}{(1-e^x) \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x + e^x}{-e^x \sin x + (1-e^x) \cos x}$

$x=0$ を代入すると、分子は $\cos 0 + e^0 = 1+1 = 2$ となり、分母は $-e^0 \sin 0 + (1-e^0) \cos 0 = -1 \cdot 0 + (1-1) \cdot 1 = 0$ となるため、極限は存在しません。

ただし、もう一度ロピタルの定理を適用できるか確認するため、さらに微分します。

分子の微分：$\frac{d}{dx}(\cos x + e^x) = -\sin x + e^x$

分母の微分：$\frac{d}{dx}(-e^x \sin x + (1-e^x) \cos x) = -e^x \sin x - e^x \cos x - e^x \cos x + (1-e^x) (-\sin x) = -e^x \sin x - e^x \cos x - e^x \cos x - \sin x + e^x \sin x = -2e^x \cos x - \sin x$

$\lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + e^x}{-2e^x \cos x - \sin x}$

$x=0$ を代入すると、分子は $-\sin 0 + e^0 = 0 + 1 = 1$ となり、分母は $-2e^0 \cos 0 - \sin 0 = -2 \cdot 1 \cdot 1 - 0 = -2$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + e^x - 1}{(1-e^x) \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + e^x}{-2e^x \cos x - \sin x} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$