## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

以下の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2})$

(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{2^{2n+3} + 3^{n+2}}$

(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}$

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2. 解き方の手順

**(1) $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2})$**

共役な式を掛けて、分子を有理化します。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2 + 3n + 2} - \sqrt{n^2 - 3n + 2})(\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2})}{\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{(n^2 + 3n + 2) - (n^2 - 3n + 2)}{\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{6n}{\sqrt{n^2 + 3n + 2} + \sqrt{n^2 - 3n + 2}}$

$n$ で割ります。

$= \lim_{n \to \infty} \frac{6}{\sqrt{1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}} + \sqrt{1 - \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{3}{n} \to 0$、$\frac{2}{n^2} \to 0$ なので、

$= \frac{6}{\sqrt{1 + 0 + 0} + \sqrt{1 - 0 + 0}} = \frac{6}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3$

**(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{2^{2n+3} + 3^{n+2}}$**

$4^{n+1}$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3^{n-1} - 4^{n+1}}{2^{2n+3} + 3^{n+2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3^{n-1}}{4^{n+1}} - 1}{\frac{2^{2n+3}}{4^{n+1}} + \frac{3^{n+2}}{4^{n+1}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{3} (\frac{3}{4})^n \frac{1}{4^2}- 1}{\frac{2^3 (\frac{4}{4})^n}{4} + \frac{3^2 (\frac{3}{4})^n}{4}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{48} (\frac{3}{4})^n- 1}{\frac{8}{4} + \frac{9}{4}(\frac{3}{4})^n}$

$n \to \infty$ のとき、$(\frac{3}{4})^n \to 0$ なので、

$= \frac{0 - 1}{\frac{8}{4} + 0} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

**(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3}$**

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \sum_{k=1}^{n} k^3 = (\frac{n(n+1)}{2})^2 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} = \frac{n^2(n^2+2n+1)}{4} = \frac{n^4+2n^3+n^2}{4}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^4}{\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}} = \lim_{n \to \infty} \frac{4n^4}{n^4+2n^3+n^2}$

$n^4$ で割ります。

$= \lim_{n \to \infty} \frac{4}{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}$

$n \to \infty$ のとき、$\frac{2}{n} \to 0$、$\frac{1}{n^2} \to 0$ なので、

$= \frac{4}{1+0+0} = 4$

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3. 最終的な答え

(1) $3$

(2) $-\frac{1}{2}$

(3) $4$