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定積分 $\int_{0}^{3} (6x^2 - 4x) \, dx$ を計算してください。

解析学定積分積分積分計算
2025/3/27

1. 問題の内容

定積分 ∫03(6x2−4x) dx\int_{0}^{3} (6x^2 - 4x) \, dx を計算してください。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。
∫(6x2−4x) dx=6∫x2 dx−4∫x dx=6⋅x33−4⋅x22+C=2x3−2x2+C\int (6x^2 - 4x) \, dx = 6 \int x^2 \, dx - 4 \int x \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C = 2x^3 - 2x^2 + C.
次に、定積分の値を求めます。
∫03(6x2−4x) dx=[2x3−2x2]03=(2⋅33−2⋅32)−(2⋅03−2⋅02)=(2⋅27−2⋅9)−(0−0)=(54−18)−0=36\int_{0}^{3} (6x^2 - 4x) \, dx = [2x^3 - 2x^2]_{0}^{3} = (2 \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2) - (2 \cdot 0^3 - 2 \cdot 0^2) = (2 \cdot 27 - 2 \cdot 9) - (0 - 0) = (54 - 18) - 0 = 36.

3. 最終的な答え

36

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