定積分 $\int_{5}^{1} (-9x^2 + 4x + 1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{5}^{1} (-9x^2 + 4x + 1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (-9x^2 + 4x + 1) dx = -9 \int x^2 dx + 4 \int x dx + \int 1 dx = -9 (\frac{x^3}{3}) + 4 (\frac{x^2}{2}) + x + C = -3x^3 + 2x^2 + x + C$

次に、定積分の値を計算します。

$\int_{5}^{1} (-9x^2 + 4x + 1) dx = [-3x^3 + 2x^2 + x]_{5}^{1}$

$= (-3(1)^3 + 2(1)^2 + 1) - (-3(5)^3 + 2(5)^2 + 5)$

$= (-3 + 2 + 1) - (-3(125) + 2(25) + 5)$

$= 0 - (-375 + 50 + 5)$

$= 0 - (-320)$

$= 320$

3. 最終的な答え

320