定積分 $\int_{1}^{3} \left(\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11}\right)dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{3} \left(\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11}\right)dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int \left(\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11}\right)dx = \frac{3}{11} \int x^{2} dx - \frac{1}{11} \int dx = \frac{3}{11} \cdot \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{11}x + C = \frac{x^{3}}{11} - \frac{x}{11} + C$

次に、積分区間 $[1, 3]$ で定積分を計算します。

$\int_{1}^{3} \left(\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11}\right)dx = \left[\frac{x^{3}}{11} - \frac{x}{11}\right]_{1}^{3} = \left(\frac{3^{3}}{11} - \frac{3}{11}\right) - \left(\frac{1^{3}}{11} - \frac{1}{11}\right)$

$= \left(\frac{27}{11} - \frac{3}{11}\right) - \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{11}\right) = \frac{24}{11} - 0 = \frac{24}{11}$

3. 最終的な答え

$\frac{24}{11}$