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定積分 $\int_{1}^{3} \left(\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11}\right)dx$ を計算します。

解析学定積分積分計算積分
2025/3/27

1. 問題の内容

定積分 ∫13(311x2−111)dx\int_{1}^{3} \left(\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11}\right)dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。
∫(311x2−111)dx=311∫x2dx−111∫dx=311⋅x33−111x+C=x311−x11+C\int \left(\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11}\right)dx = \frac{3}{11} \int x^{2} dx - \frac{1}{11} \int dx = \frac{3}{11} \cdot \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{11}x + C = \frac{x^{3}}{11} - \frac{x}{11} + C
次に、積分区間 [1,3][1, 3] で定積分を計算します。
∫13(311x2−111)dx=[x311−x11]13=(3311−311)−(1311−111)\int_{1}^{3} \left(\frac{3}{11}x^{2} - \frac{1}{11}\right)dx = \left[\frac{x^{3}}{11} - \frac{x}{11}\right]_{1}^{3} = \left(\frac{3^{3}}{11} - \frac{3}{11}\right) - \left(\frac{1^{3}}{11} - \frac{1}{11}\right)
=(2711−311)−(111−111)=2411−0=2411= \left(\frac{27}{11} - \frac{3}{11}\right) - \left(\frac{1}{11} - \frac{1}{11}\right) = \frac{24}{11} - 0 = \frac{24}{11}

3. 最終的な答え

2411\frac{24}{11}

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