任意の2次行列 $A, B$ に対して、「$AB = O$ ならば $A = O$ または $B = O$」という命題の真偽を調べよ。ここで、$O$は零行列を表す。

1. 問題の内容

任意の2次行列 $A, B$ に対して、「$AB = O$ ならば $A = O$ または $B = O$」という命題の真偽を調べよ。ここで、$O$は零行列を表す。

2. 解き方の手順

この命題は偽である。反例を示すことで命題が成り立たないことを証明する。

$A$ と $B$ がともに零行列でないにもかかわらず、$AB = O$ となるような2次行列 $A$ と $B$ を構成する。

例えば、

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

とすると、

$AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$

となる。しかし、$A \neq O$ かつ $B \neq O$ である。

別の例として、

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

とすると、

$AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O$

となる。しかし、$A \neq O$ かつ $B \neq O$ である。

3. 最終的な答え

偽