与えられた不等式 $-64t^6 + 112t^4 - 60t^2 + 9 \geq 0$ を解きます。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $-64t^6 + 112t^4 - 60t^2 + 9 \geq 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を $x = t^2$ と置いて書き換えます。

すると、不等式は $-64x^3 + 112x^2 - 60x + 9 \geq 0$ となります。

次に、この不等式の左辺を因数分解します。

まず、$f(x) = -64x^3 + 112x^2 - 60x + 9$ と置きます。

$f(\frac{1}{4}) = -64(\frac{1}{4})^3 + 112(\frac{1}{4})^2 - 60(\frac{1}{4}) + 9 = -1 + 7 - 15 + 9 = 0$ となるので、$x - \frac{1}{4}$ は $f(x)$ の因数です。

同様に、$f(\frac{3}{4}) = -64(\frac{3}{4})^3 + 112(\frac{3}{4})^2 - 60(\frac{3}{4}) + 9 = -27 + 63 - 45 + 9 = 0$ となるので、$x - \frac{3}{4}$ も $f(x)$ の因数です。

さらに、$f(\frac{3}{4}) = 0$ なので、$x = \frac{3}{4}$ は重根の可能性があります。

したがって、

$f(x) = -64(x - \frac{1}{4})(x - \frac{3}{4})^2 = -(4x-1)(4x-3)^2 \geq 0$

となります。

これを解くと、$(4x-1)(4x-3)^2 \leq 0$ となります。

$(4x-3)^2$ は常に0以上であるため、$4x - 1 \leq 0$ である必要があります。

また、$4x - 3 = 0$ のときも不等式は成り立ちます。

$4x - 1 \leq 0$ より、$4x \leq 1$ となり、$x \leq \frac{1}{4}$ となります。

また、$4x - 3 = 0$ より、$x = \frac{3}{4}$ となります。

$x = t^2$ であったので、$t^2 \leq \frac{1}{4}$ より $-\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}$ となります。

また、$t^2 = \frac{3}{4}$ より $t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ となります。

したがって、$-\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}$ または $t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2} \leq t \leq \frac{1}{2}$ または $t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$