定積分 $\int_{1}^{4} (2x^2 + 2x) \, dx - \int_{1}^{4} (8x^2 + 7) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{4} (2x^2 + 2x) \, dx - \int_{1}^{4} (8x^2 + 7) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分区間が同じなので、被積分関数をまとめることができます。

$\int_{1}^{4} (2x^2 + 2x) \, dx - \int_{1}^{4} (8x^2 + 7) \, dx = \int_{1}^{4} ((2x^2 + 2x) - (8x^2 + 7)) \, dx$

被積分関数を整理します。

$2x^2 + 2x - 8x^2 - 7 = -6x^2 + 2x - 7$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} (-6x^2 + 2x - 7) \, dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (-6x^2 + 2x - 7) \, dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 7x + C = -2x^3 + x^2 - 7x + C$

定積分を計算するために、上記の不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を求めます。

$[-2x^3 + x^2 - 7x]_{1}^{4} = (-2(4^3) + 4^2 - 7(4)) - (-2(1^3) + 1^2 - 7(1))$

$= (-2(64) + 16 - 28) - (-2 + 1 - 7)$

$= (-128 + 16 - 28) - (-8)$

$= -140 + 8 = -132$

3. 最終的な答え

-132