与えられた定積分を計算する問題です。具体的には、以下の定積分の和を求めます。 $\int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{3}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx$

はい、承知しました。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。具体的には、以下の定積分の和を求めます。

$\int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{3}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx$

2. 解き方の手順

まず、定積分の性質を利用して、積分区間をまとめます。

$\int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{b}^{c} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx$

$\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$

を利用します。

$\int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{3}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx$

$= \int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) dx - \int_{1}^{3} (-9x^2 - 8x + 5) dx + \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx$

$= \int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx$

次に、積分を実行します。

$\int (-9x^2 - 8x + 5) dx = -9 \int x^2 dx - 8 \int x dx + 5 \int dx = -9 \frac{x^3}{3} - 8 \frac{x^2}{2} + 5x + C = -3x^3 - 4x^2 + 5x + C$

したがって、

$\int_{-2}^{1} (-9x^2 - 8x + 5) dx = [-3x^3 - 4x^2 + 5x]_{-2}^{1}$

$= (-3(1)^3 - 4(1)^2 + 5(1)) - (-3(-2)^3 - 4(-2)^2 + 5(-2))$

$= (-3 - 4 + 5) - (-3(-8) - 4(4) - 10)$

$= -2 - (24 - 16 - 10)$

$= -2 - (-2)$

$= 0$

3. 最終的な答え

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