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$n$ は自然数とする。命題「$n$ は $9$ の倍数である $\Longrightarrow$ $n$ は $3$ の倍数である」の真偽を調べ、その逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる。

数論命題真偽倍数対偶逆裏
2025/6/10

1. 問題の内容

nn は自然数とする。命題「nn は 99 の倍数である ⟹\Longrightarrow nn は 33 の倍数である」の真偽を調べ、その逆、裏、対偶を述べ、それらの真偽を調べる。

2. 解き方の手順

まず、与えられた命題の真偽を考える。nn が 99 の倍数ならば、n=9kn=9k (kk は整数) と表せる。このとき、n=3(3k)n = 3(3k) となり、nn は 33 の倍数である。したがって、与えられた命題は真である。
次に、逆を考える。逆は「nn は 33 の倍数である ⟹\Longrightarrow nn は 99 の倍数である」である。n=3n=3 は 33 の倍数であるが、99 の倍数ではない。したがって、逆は偽である。
次に、裏を考える。裏は「nn は 99 の倍数ではない ⟹\Longrightarrow nn は 33 の倍数ではない」である。n=4n=4 は 99 の倍数ではないが、33 の倍数でもない。n=6n=6は99の倍数ではないが、33の倍数である。したがって、裏は偽である。
最後に、対偶を考える。対偶は「nn は 33 の倍数ではない ⟹\Longrightarrow nn は 99 の倍数ではない」である。これは、与えられた命題の逆の否定を取ったものなので、与えられた命題が真であることより、対偶も真である。

3. 最終的な答え

- 命題: nn は 99 の倍数である ⟹\Longrightarrow nn は 33 の倍数である。真
- 逆: nn は 33 の倍数である ⟹\Longrightarrow nn は 99 の倍数である。偽
- 裏: nn は 99 の倍数ではない ⟹\Longrightarrow nn は 33 の倍数ではない。偽
- 対偶: nn は 33 の倍数ではない ⟹\Longrightarrow nn は 99 の倍数ではない。真

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