この問題は、電磁気学に関連する3つの問題を解くものです。 1. ある積分方程式の微分形を求める。

1. 問題の内容

この問題は、電磁気学に関連する3つの問題を解くものです。

1. ある積分方程式の微分形を求める。

2. ベクトル場の線積分を計算する。ベクトル場は位置ベクトルとその勾配で定義され、積分経路は半径1の円周です。

3. 別のベクトル場の線積分を計算する。ベクトル場は与えられており、積分経路は半径aの円周です。

2. 解き方の手順

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1. の解き方**

与えられた積分方程式は、

$\int_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{s} = \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S}$

これはアンペールの法則の積分形です。ストークスの定理を用いると、左辺は

$\int_C \mathbf{H} \cdot d\mathbf{s} = \int_S (\nabla \times \mathbf{H}) \cdot d\mathbf{S}$

したがって、

$\int_S (\nabla \times \mathbf{H}) \cdot d\mathbf{S} = \int_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S}$

積分の中身が等しくなければならないので、微分形は

$\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}$

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2. の解き方**

ベクトル場は $\nabla \mathbf{r}$ です。ここで、$\mathbf{r} = (x, y, z)$ なので、

$\nabla \mathbf{r} = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) (x, y, z) = (1, 1, 1)$.

積分経路は $xy$ 平面上の半径1の円周なので、パラメータ表示は $\mathbf{s}(t) = (\cos t, \sin t, 0)$ (反時計回り)。したがって、$d\mathbf{s} = (-\sin t, \cos t, 0) dt$ であり、$0 \le t \le 2\pi$ です。

$\int_C \nabla \mathbf{r} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} (1, 1, 1) \cdot (-\sin t, \cos t, 0) dt = \int_0^{2\pi} (-\sin t + \cos t) dt = [\cos t + \sin t]_0^{2\pi} = (\cos 2\pi + \sin 2\pi) - (\cos 0 + \sin 0) = (1 + 0) - (1 + 0) = 0$

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3. の解き方**

ベクトル場は $\mathbf{A} = (x, z, -x)$ です。

積分経路は $zx$ 平面上の半径 $a$ の円周なので、パラメータ表示は $\mathbf{s}(t) = (a \cos t, 0, a \sin t)$ (反時計回り)。したがって、$d\mathbf{s} = (-a \sin t, 0, a \cos t) dt$ であり、$0 \le t \le 2\pi$ です。

$\int_C \mathbf{A} \cdot d\mathbf{s} = \int_0^{2\pi} (a \cos t, a \sin t, -a \cos t) \cdot (-a \sin t, 0, a \cos t) dt = \int_0^{2\pi} (-a^2 \cos t \sin t - a^2 \cos^2 t) dt = -a^2 \int_0^{2\pi} (\cos t \sin t + \cos^2 t) dt = -a^2 \int_0^{2\pi} (\frac{1}{2} \sin 2t + \frac{1 + \cos 2t}{2}) dt = -a^2 [\frac{-1}{4} \cos 2t + \frac{t}{2} + \frac{1}{4} \sin 2t]_0^{2\pi} = -a^2 [(\frac{-1}{4} \cos 4\pi + \frac{2\pi}{2} + \frac{1}{4} \sin 4\pi) - (\frac{-1}{4} \cos 0 + 0 + \frac{1}{4} \sin 0)] = -a^2 [(\frac{-1}{4} + \pi + 0) - (\frac{-1}{4} + 0 + 0)] = -a^2 \pi$

3. 最終的な答え

1. $\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J}$

2. 0

3. $-a^2 \pi$