次の定積分を計算する問題です。 $\int_{-1}^{1} (-6x^2 + 12x + 7) dx + \int_{1}^{2} (-6x^2 + 12x + 7) dx + \int_{2}^{3} (-6x^2 + 12x + 7) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算する問題です。

$\int_{-1}^{1} (-6x^2 + 12x + 7) dx + \int_{1}^{2} (-6x^2 + 12x + 7) dx + \int_{2}^{3} (-6x^2 + 12x + 7) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を一つにまとめます。積分区間が連続しているので、

$\int_{-1}^{1} (-6x^2 + 12x + 7) dx + \int_{1}^{2} (-6x^2 + 12x + 7) dx + \int_{2}^{3} (-6x^2 + 12x + 7) dx = \int_{-1}^{3} (-6x^2 + 12x + 7) dx$

次に、被積分関数 $-6x^2 + 12x + 7$ の不定積分を計算します。

$\int (-6x^2 + 12x + 7) dx = -6 \int x^2 dx + 12 \int x dx + 7 \int dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 12 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = -2x^3 + 6x^2 + 7x + C$

ここで、$F(x) = -2x^3 + 6x^2 + 7x$ とおきます。

定積分を計算します。

$\int_{-1}^{3} (-6x^2 + 12x + 7) dx = F(3) - F(-1)$

$F(3) = -2(3)^3 + 6(3)^2 + 7(3) = -2(27) + 6(9) + 21 = -54 + 54 + 21 = 21$

$F(-1) = -2(-1)^3 + 6(-1)^2 + 7(-1) = -2(-1) + 6(1) - 7 = 2 + 6 - 7 = 1$

したがって、

$\int_{-1}^{3} (-6x^2 + 12x + 7) dx = F(3) - F(-1) = 21 - 1 = 20$

3. 最終的な答え

20