波長と振幅がそれぞれ等しい2つの正弦波が、直線上を同じ速さで互いに逆向きに進んでいます。図の状態から$\frac{1}{4}$周期ごとの合成波を作図し、定常波ができることを確認する問題です。

## 数学の問題の回答

1. 問題の内容

波長と振幅がそれぞれ等しい2つの正弦波が、直線上を同じ速さで互いに逆向きに進んでいます。図の状態から$\frac{1}{4}$周期ごとの合成波を作図し、定常波ができることを確認する問題です。

2. 解き方の手順

(1) 図の状態（初期状態）から、$\frac{1}{4}$周期後、$\frac{2}{4}$周期後（$\frac{1}{2}$周期後）、$\frac{3}{4}$周期後、$\frac{4}{4}$周期後（1周期後）のそれぞれの波形を、重ね合わせの原理を用いて作図します。

(2) 2つの正弦波をそれぞれ個別に、初期状態から$\frac{1}{4}$周期ごとにずらして描きます。互いに逆向きに進むことに注意してください。

(3) 各時刻におけるそれぞれの波の変位を足し合わせ、合成波の波形を作図します。

(4) 作図した合成波が、時間的に変化しない定常波の形になっているかを確認します。特に、振幅が常にゼロになる点（節）と、振幅が最大になる点（腹）が、時間的に移動しないことを確認します。

以下にそれぞれの時点での波形を説明します。初期状態の波をそれぞれ波1、波2とします。

* $\frac{1}{4}$周期後: 波1は右方向に、波2は左方向にそれぞれ$\frac{1}{4}$波長分だけ移動します。合成波を作図すると、初期状態とは異なる波形になりますが、節と腹の位置が明確になります。

* $\frac{2}{4}$周期後（$\frac{1}{2}$周期後）: 波1は右方向に、波2は左方向にそれぞれ$\frac{1}{2}$波長分だけ移動します。合成波は、初期状態とは逆位相になります。

* $\frac{3}{4}$周期後: 波1は右方向に、波2は左方向にそれぞれ$\frac{3}{4}$波長分だけ移動します。

* $\frac{4}{4}$周期後（1周期後）: 波1は右方向に、波2は左方向にそれぞれ1波長分だけ移動します。合成波は、初期状態と同じ波形になります。

上記の作図を正確に行うことで、合成波の腹と節の位置が時間的に変化しない定常波になっていることを確認できます。

3. 最終的な答え

グラフを作成することで確認できます。グラフの画像を添付して説明できないのが残念ですが、きちんとグラフを作成することで定常波になっていることが確認できます。