次の定積分を計算しなさい。 $\int_{1}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx - \int_{4}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算しなさい。

$\int_{1}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx - \int_{4}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx$

2. 解き方の手順

まず、2つ目の積分を入れ替えます。積分の順序を入れ替えると符号が反転することを利用します。

$\int_{4}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx = - \int_{2}^{4}(6x^2 - 10x + 9)dx$

元の式に代入すると、

$\int_{1}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx - \int_{4}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx = \int_{1}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx + \int_{2}^{4}(6x^2 - 10x + 9)dx$

積分をまとめます。

$\int_{1}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx + \int_{2}^{4}(6x^2 - 10x + 9)dx = \int_{1}^{4}(6x^2 - 10x + 9)dx$

不定積分を計算します。

$\int (6x^2 - 10x + 9)dx = 6\frac{x^3}{3} - 10\frac{x^2}{2} + 9x + C = 2x^3 - 5x^2 + 9x + C$

定積分を計算します。

$\int_{1}^{4}(6x^2 - 10x + 9)dx = [2x^3 - 5x^2 + 9x]_{1}^{4} = (2(4)^3 - 5(4)^2 + 9(4)) - (2(1)^3 - 5(1)^2 + 9(1))$

$= (2(64) - 5(16) + 36) - (2 - 5 + 9) = (128 - 80 + 36) - (6) = 84 - 6 = 78$

3. 最終的な答え

78