次の定積分を計算しなさい。 $\int_{1}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx - \int_{4}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx$

解析学定積分積分計算

2025/3/27

1. 問題の内容

次の定積分を計算しなさい。

\int_{1}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx - \int_{4}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx

2. 解き方の手順

まず、2つ目の積分を入れ替えます。積分の順序を入れ替えると符号が反転することを利用します。

\int_{4}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx = - \int_{2}^{4}(6x^2 - 10x + 9)dx

元の式に代入すると、

\int_{1}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx - \int_{4}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx = \int_{1}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx + \int_{2}^{4}(6x^2 - 10x + 9)dx

積分をまとめます。

\int_{1}^{2}(6x^2 - 10x + 9)dx + \int_{2}^{4}(6x^2 - 10x + 9)dx = \int_{1}^{4}(6x^2 - 10x + 9)dx

不定積分を計算します。

\int (6x^2 - 10x + 9)dx = 6\frac{x^3}{3} - 10\frac{x^2}{2} + 9x + C = 2x^3 - 5x^2 + 9x + C

定積分を計算します。

\int_{1}^{4}(6x^2 - 10x + 9)dx = [2x^3 - 5x^2 + 9x]_{1}^{4} = (2(4)^3 - 5(4)^2 + 9(4)) - (2(1)^3 - 5(1)^2 + 9(1))

= (2(64) - 5(16) + 36) - (2 - 5 + 9) = (128 - 80 + 36) - (6) = 84 - 6 = 78

3. 最終的な答え

78

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