色の異なる8個の玉を3つの袋A, B, Cにそれぞれ1個、3個、4個に分けて入れる方法は何通りあるかを求める。

1. 問題の内容

色の異なる8個の玉を3つの袋A, B, Cにそれぞれ1個、3個、4個に分けて入れる方法は何通りあるかを求める。

2. 解き方の手順

まず、8個の玉から袋Aに入れる1個を選ぶ組み合わせを計算します。これは $\binom{8}{1}$ で表されます。

次に、残りの7個の玉から袋Bに入れる3個を選ぶ組み合わせを計算します。これは $\binom{7}{3}$ で表されます。

最後に、残りの4個の玉は袋Cに自動的に入るので、組み合わせは $\binom{4}{4} = 1$ です。

したがって、求める組み合わせの総数は、これらの組み合わせの積で計算できます。

$\binom{8}{1} = \frac{8!}{1!(8-1)!} = \frac{8!}{1!7!} = \frac{8}{1} = 8$

$\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$

$\binom{4}{4} = \frac{4!}{4!(4-4)!} = \frac{4!}{4!0!} = 1$

組み合わせの総数は $8 \times 35 \times 1 = 280$ となります。

3. 最終的な答え

280通り