(3) 期待値 $E[X] = 50$, 分散 $V(X) = 14^2$ である確率変数 $X$ について、チェビシェフの不等式を用いて、確率 $P(|X-50| < 28)$ を評価せよ。 (4) 期待値 $E[X] = 10$, 分散 $V(X) = 4$ である確率変数 $X$ について、チェビシェフの不等式を用いて、 (a) 確率 $P(|X-10| \geq 5)$ を評価せよ。 (b) 確率 $P(|X-10| < \alpha) > 0.9$ となるような最小の $\alpha$ を求めよ。

1. 問題の内容

(3) 期待値 $E[X] = 50$, 分散 $V(X) = 14^2$ である確率変数 $X$ について、チェビシェフの不等式を用いて、確率 $P(|X-50| < 28)$ を評価せよ。

(4) 期待値 $E[X] = 10$, 分散 $V(X) = 4$ である確率変数 $X$ について、チェビシェフの不等式を用いて、

(a) 確率 $P(|X-10| \geq 5)$ を評価せよ。

(b) 確率 $P(|X-10| < \alpha) > 0.9$ となるような最小の $\alpha$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(3) チェビシェフの不等式は、任意の $k > 0$ に対して、

$$P(|X - E[X]| \geq k) \leq \frac{V(X)}{k^2}$$

と表される。これより、

$$P(|X - E[X]| < k) \geq 1 - \frac{V(X)}{k^2}$$

本問では、$E[X] = 50$、$V(X) = 14^2 = 196$、$k = 28$ なので、

$$P(|X - 50| < 28) \geq 1 - \frac{196}{28^2} = 1 - \frac{196}{784} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$$

(4)

(a) チェビシェフの不等式より、

$$P(|X - E[X]| \geq k) \leq \frac{V(X)}{k^2}$$

本問では、$E[X] = 10$、$V(X) = 4$、$k = 5$ なので、

$$P(|X - 10| \geq 5) \leq \frac{4}{5^2} = \frac{4}{25} = 0.16$$

(b)

$$P(|X - 10| < \alpha) > 0.9$$

をチェビシェフの不等式を用いて考える。

$$P(|X - E[X]| < k) \geq 1 - \frac{V(X)}{k^2}$$

より、

$$P(|X - 10| < \alpha) \geq 1 - \frac{4}{\alpha^2}$$

したがって、

$$1 - \frac{4}{\alpha^2} > 0.9$$

$$\frac{4}{\alpha^2} < 0.1$$

$$\alpha^2 > \frac{4}{0.1} = 40$$

$$\alpha > \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.32$$

したがって、$P(|X-10|<\alpha) > 0.9$となる$\alpha$の最小値は$2\sqrt{10}$である。

3. 最終的な答え

(3) $P(|X-50| < 28) \geq 0.75$

(4) (a) $P(|X-10| \geq 5) \leq 0.16$

(b) $\alpha = 2\sqrt{10}$