問題は2つあります。 (4) 赤玉3個、青玉2個、白玉2個を一列に並べる。同じ色の玉は区別しないとき、これらの玉の並べ方は全部で何通りか。また、赤玉が隣り合わない並べ方は何通りか。 (5) $a, b, c$ は $a+b+c=21$ を満たす整数とする。$a, b, c$ がこの順番で等比数列をなし、$b, a^2, c$ がこの順番で等差数列をなすような組 $(a, b, c)$ をすべて求める。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(4) 赤玉3個、青玉2個、白玉2個を一列に並べる。同じ色の玉は区別しないとき、これらの玉の並べ方は全部で何通りか。また、赤玉が隣り合わない並べ方は何通りか。

(5) $a, b, c$ は $a+b+c=21$ を満たす整数とする。$a, b, c$ がこの順番で等比数列をなし、$b, a^2, c$ がこの順番で等差数列をなすような組 $(a, b, c)$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(4)

まず、玉の並べ方の総数を求めます。全部で7個の玉があり、赤玉が3個、青玉が2個、白玉が2個なので、並べ方の総数は、

$\frac{7!}{3!2!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{2 \times 2} = 7 \times 6 \times 5 = 210$ 通り

となります。

次に、赤玉が隣り合わない並べ方を求めます。まず、赤玉以外の4つの玉（青2個、白2個）を並べます。その並べ方は、

$\frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ 通りです。

次に、これらの4つの玉の間に3つの赤玉を入れる場所を選びます。4つの玉の間と両端の5箇所から3箇所を選ぶ組み合わせは、${}_5 C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$ 通りです。

したがって、赤玉が隣り合わない並べ方は、$6 \times 10 = 60$ 通りとなります。

(5)

$a, b, c$ がこの順番で等比数列をなすので、$b = ar, c = ar^2$ と書けます。

また、$a+b+c = 21$ より、$a + ar + ar^2 = 21$ です。

さらに、$b, a^2, c$ がこの順番で等差数列をなすので、$2a^2 = b + c$ です。

$2a^2 = ar + ar^2$ より、$2a = r + r^2$ （ただし、$a \neq 0$）。

$r^2 + r - 2a = 0$ となります。

$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8a}}{2}$

$r$は有理数なので、$1+8a$は平方数でなければなりません。

$1+8a = k^2$ とおくと、$8a = k^2 - 1 = (k-1)(k+1)$ となります。

$a = \frac{(k-1)(k+1)}{8}$

$a + ar + ar^2 = 21$ に代入すると、$a(1+r+r^2) = 21$ となります。

$b+c = 2a^2$なので、$a+2a^2 = 21$ です。

$2a^2+a-21=0$を解くと、$a = \frac{-1\pm \sqrt{1+4\times 2 \times 21}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{-1 \pm 13}{4}$となります。

$a = 3$ または $a = -\frac{7}{2}$ となります。$a$は整数なので、$a=3$です。

$a=3$のとき、$1+r+r^2 = 7$ より、$r^2+r-6=0$となり、$(r+3)(r-2) = 0$なので、$r = -3, 2$です。

$a=3, r=-3$のとき、$b=-9, c=27$となります。このとき、$a+b+c=3-9+27 = 21$を満たし、$b, a^2, c$は$-9, 9, 27$となり、等差数列です。

$a=3, r=2$のとき、$b=6, c=12$となります。このとき、$a+b+c=3+6+12 = 21$を満たし、$b, a^2, c$は$6, 9, 12$となり、等差数列です。

したがって、$(a, b, c) = (3, -9, 27), (3, 6, 12)$ の2組です。

3. 最終的な答え

(4) オ：210, カ：60

(5) キ：2