大、中、小の３つのサイコロを投げたとき、出る目の数をそれぞれ$a, b, c$とします。$a \le b \le c$となる場合の数を求めなさい。

1. 問題の内容

大、中、小の３つのサイコロを投げたとき、出る目の数をそれぞれ$a, b, c$とします。$a \le b \le c$となる場合の数を求めなさい。

2. 解き方の手順

$a, b, c$はそれぞれ1から6までの整数です。

$a \le b \le c$を満たす整数の組$(a, b, c)$の個数を求める問題です。

これは、1から6までの数字の中から重複を許して3つ選ぶ組み合わせの数と考えることができます。

重複組み合わせの公式を使うと、求める場合の数は $_nH_r = {}_{n+r-1}C_r$ で計算できます。

ここで、$n = 6$（サイコロの目の種類）で、$r = 3$（サイコロの数）です。

したがって、求める組み合わせの数は、

$_{6}H_3 = {}_{6+3-1}C_3 = {}_8C_3$

${}_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

3. 最終的な答え

56通り