次の定積分の値を求めます。 $\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) dx + \int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求めます。

$\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) dx + \int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (12x^2 - 4x + 3) dx = 12\int x^2 dx - 4\int x dx + 3\int dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 3x + C = 4x^3 - 2x^2 + 3x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) dx = [4x^3 - 2x^2 + 3x]_{0}^{2} = (4(2)^3 - 2(2)^2 + 3(2)) - (4(0)^3 - 2(0)^2 + 3(0)) = (32 - 8 + 6) - 0 = 30$

$\int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) dx = [4x^3 - 2x^2 + 3x]_{-1}^{0} = (4(0)^3 - 2(0)^2 + 3(0)) - (4(-1)^3 - 2(-1)^2 + 3(-1)) = 0 - (-4 - 2 - 3) = 0 - (-9) = 9$

したがって、

$\int_{0}^{2} (12x^2 - 4x + 3) dx + \int_{-1}^{0} (12x^2 - 4x + 3) dx = 30 + 9 = 39$

3. 最終的な答え

39