定積分 $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^3 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^3 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$x-\alpha = u$ と置換します。すると、$x = u + \alpha$ であり、$dx = du$ となります。

積分区間は、$x=\alpha$ のとき $u=0$、$x=\beta$ のとき $u = \beta - \alpha$ となります。

したがって、

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^3 dx = \int_0^{\beta-\alpha} u(u+\alpha - \beta)^3 du$$

ここで、$v = \beta - \alpha$ とおくと、

$$\int_0^v u(u-v)^3 du = \int_0^v u(u^3 - 3u^2v + 3uv^2 - v^3) du$$

$$= \int_0^v (u^4 - 3u^3v + 3u^2v^2 - uv^3) du$$

$$= \left[ \frac{u^5}{5} - \frac{3u^4v}{4} + u^3v^2 - \frac{u^2v^3}{2} \right]_0^v$$

$$= \frac{v^5}{5} - \frac{3v^5}{4} + v^5 - \frac{v^5}{2} = v^5 \left(\frac{1}{5} - \frac{3}{4} + 1 - \frac{1}{2} \right)$$

$$= v^5 \left(\frac{4 - 15 + 20 - 10}{20} \right) = v^5 \left(\frac{-1}{20} \right) = -\frac{v^5}{20}$$

したがって、

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)^3 dx = -\frac{(\beta-\alpha)^5}{20}$$

3. 最終的な答え

$-\frac{(\beta-\alpha)^5}{20}$