$\triangle ABC$において、$AB=5$, $AC=6$, $BC=7$とする。辺$AB$上に点$P$をとり、$AP=t$ $(0 < t < 5)$とする。また、辺$AC$の$C$の側への延長上に点$Q$を、$\triangle ABC$の面積と$\triangle APQ$の面積が等しくなるようにとり、$BC$と$PQ$の交点を$M$とする。$BM$の長さおよび$AQ$の長さを$t$で表せ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$において、$AB=5$, $AC=6$, $BC=7$とする。辺$AB$上に点$P$をとり、$AP=t$ $(0 < t < 5)$とする。また、辺$AC$の$C$の側への延長上に点$Q$を、$\triangle ABC$の面積と$\triangle APQ$の面積が等しくなるようにとり、$BC$と$PQ$の交点を$M$とする。$BM$の長さおよび$AQ$の長さを$t$で表せ。

2. 解き方の手順

まず、$\triangle ABC$の面積と$\triangle APQ$の面積が等しいことから、$AQ$の長さを$t$で表す。

$\triangle ABC$の面積を$S$とすると、$\triangle APQ$の面積も$S$となる。

$\triangle APQ$の面積は $\frac{1}{2} AP \cdot AQ \cdot \sin A$ で表され、$\triangle ABC$の面積は $\frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A$ で表される。

したがって、$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} 5 \cdot 6 \cdot \sin A = 15 \sin A$。

また、$S = \frac{1}{2} AP \cdot AQ \cdot \sin A = \frac{1}{2} t \cdot AQ \cdot \sin A$。

よって、$15 \sin A = \frac{1}{2} t \cdot AQ \cdot \sin A$。

$\sin A \neq 0$より、$15 = \frac{1}{2} t \cdot AQ$。

したがって、$AQ = \frac{30}{t}$。

次に、メネラウスの定理を用いて、$BM$の長さを$t$で表す。$\triangle ABC$において、直線$PQ$が辺$AB$を$P$で、辺$BC$を$M$で、辺$CA$を$Q$で交わるので、メネラウスの定理より、

$$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$$

$AP = t$, $AB = 5$ より $PB = AB - AP = 5 - t$。

$AC = 6$, $AQ = \frac{30}{t}$ より $CQ = AQ - AC = \frac{30}{t} - 6 = \frac{30 - 6t}{t}$。

$QA = \frac{30}{t}$。したがって、

$$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{\frac{30-6t}{t}}{\frac{30}{t}} = 1$$

$$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{30-6t}{30} = 1$$

$$\frac{t}{5-t} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{5-t}{5} = 1$$

$$\frac{t}{5} \cdot \frac{BM}{MC} = 1$$

$$\frac{BM}{MC} = \frac{5}{t}$$

$BM = \frac{5}{t} MC$。

$BM + MC = BC = 7$ より、 $MC = 7 - BM$。

$BM = \frac{5}{t} (7 - BM)$。

$BM = \frac{35}{t} - \frac{5}{t} BM$。

$BM + \frac{5}{t} BM = \frac{35}{t}$。

$\frac{t+5}{t} BM = \frac{35}{t}$。

$BM = \frac{35}{t+5}$。

3. 最終的な答え

$BM = \frac{35}{t+5}$

$AQ = \frac{30}{t}$