2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m+5 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求めよ。また、そのときの重解を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (m+2)x + m+5 = 0$ が重解を持つとき、定数 $m$ の値を求めよ。また、そのときの重解を求めよ。

2. 解き方の手順

2次方程式が重解を持つ条件は、判別式 $D$ が $D=0$ となることである。

判別式 $D$ は、2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ に対して $D = b^2 - 4ac$ で与えられる。

今回の問題では、$a=1$, $b=m+2$, $c=m+5$ であるから、判別式 $D$ は

$$D = (m+2)^2 - 4(1)(m+5) = m^2 + 4m + 4 - 4m - 20 = m^2 - 16$$

$D=0$ となるのは、$m^2 - 16 = 0$ のときである。

これを解くと、

$$m^2 = 16$$

$$m = \pm 4$$

(i) $m=4$ のとき、2次方程式は $x^2 + (4+2)x + 4+5 = 0$ となり、

$x^2 + 6x + 9 = 0$

$(x+3)^2 = 0$

$x = -3$ （重解）

(ii) $m=-4$ のとき、2次方程式は $x^2 + (-4+2)x -4+5 = 0$ となり、

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x-1)^2 = 0$

$x = 1$ （重解）

3. 最終的な答え

$m=4$ のとき、重解は $x=-3$

$m=-4$ のとき、重解は $x=1$