直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺AB, BCの長さの和が10cmであるとき、この三角形の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺AB, BCの長さの和が10cmであるとき、この三角形の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

ABの長さを $x$ とすると、BCの長さは $10 - x$ と表せる。

ここで、$x$ は辺の長さなので、$0 < x < 10$ である。

三角形の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times x \times (10 - x)$

$S = \frac{1}{2} (10x - x^2)$

$S = -\frac{1}{2}x^2 + 5x$

この二次関数は上に凸のグラフになるので、頂点の $x$ 座標で最大値を取る。

$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 10x)$

$S = -\frac{1}{2}(x^2 - 10x + 25 - 25)$

$S = -\frac{1}{2}((x-5)^2 - 25)$

$S = -\frac{1}{2}(x-5)^2 + \frac{25}{2}$

頂点の座標は $(5, \frac{25}{2})$ である。

したがって、$x = 5$ のとき、面積 $S$ は最大値 $\frac{25}{2}$ をとる。

$x=5$のとき、$BC = 10 - 5 = 5$ となり、これは $0 < x < 10$ を満たす。

3. 最終的な答え

$\frac{25}{2} \text{cm}^2$