問題は、$xy$を最大化するような$x$と$y$の値を、制約条件$x+y-2=0$の下で求めるという最適化問題です。

1. 問題の内容

問題は、$xy$を最大化するような$x$と$y$の値を、制約条件$x+y-2=0$の下で求めるという最適化問題です。

2. 解き方の手順

制約条件$x+y-2=0$より、$y = 2-x$と表すことができます。

これを目的関数$xy$に代入すると、

$f(x) = x(2-x) = 2x - x^2$

となります。$f(x)$を最大化するため、$x$で微分して0と置きます。

$\frac{df}{dx} = 2 - 2x = 0$

したがって、$x=1$となります。

このとき、$y = 2-x = 2-1 = 1$です。

$x=1$で$f(x)$が最大になることを確認するため、二階微分を計算します。

$\frac{d^2f}{dx^2} = -2$

これは負の値なので、$x=1$で$f(x)$は最大値を取ります。

したがって、$x=1$、$y=1$のとき、$xy$は最大値$1 \times 1 = 1$を取ります。

3. 最終的な答え

$x = 1$, $y = 1$のとき、$xy$は最大値1を取ります。

最大値：1