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1. 問題の内容
直角三角形ABCにおいて、∠A = 90°、∠BAM = 37°であり、Mは辺BCの中点である。∠x = ∠AMCの大きさを求める。
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2. 解き方の手順
1. 三角形ABCは直角三角形なので、∠Cを求める。
三角形の内角の和は180°なので、∠B + ∠C = 90°。また、∠B = ∠BAM + ∠MAC = 37° + ∠MACである。
2. ∠MACを求める。
∠BAC = 90°なので、∠MAC = 90° - ∠BAM = 90° - 37° = 53°となる。
3. ∠Cを求める。
∠B + ∠C = 90°より、∠C = 90° - ∠Bとなる。ここで、∠B = ∠BAM + ∠MAC = 37° + ∠MAC。そして∠MAC = 53°。
したがって、∠B = 37° + 53° = 90°と一瞬考えてしまうかもしれませんが、これはありえません。
4. AM = MCであること利用する。
直角三角形ABCにおいて、斜辺BCの中点Mは外心であり、AM = BM = CMとなる。
したがって、三角形AMCは二等辺三角形なので、∠MAC = ∠ACM = ∠C = 53°となる。
5. ∠x = ∠AMCを求める。
三角形AMCにおいて、∠MAC + ∠ACM + ∠AMC = 180°であり、∠MAC = ∠ACM = 53°である。
したがって、53° + 53° + ∠x = 180°となるので、∠x = 180° - 53° - 53° = 180° - 106° = 74°となる。
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3. 最終的な答え
74°