制約条件 $x + 2y - 10 = 0$ の下で、関数 $x^3y^2$ を最大化する $x$ と $y$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

制約条件 $x + 2y - 10 = 0$ の下で、関数 $x^3y^2$ を最大化する $x$ と $y$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

ラグランジュの未定乗数法を用いる。

ラグランジュ関数を以下のように定義する。

$L(x, y, \lambda) = x^3y^2 - \lambda(x + 2y - 10)$

各変数で偏微分し、0とおく。

$\frac{\partial L}{\partial x} = 3x^2y^2 - \lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial y} = 2x^3y - 2\lambda = 0$

$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(x + 2y - 10) = 0$

上記の3つの式から、$x$, $y$, $\lambda$ を求める。

1式目と2式目から $\lambda$ を消去する。

$3x^2y^2 = \lambda$

$x^3y = \lambda$

したがって、

$3x^2y^2 = x^3y$

$x^2y(3y - x) = 0$

$x=0$ または $y=0$ または $3y=x$

$x=0$ または $y=0$ の場合、$x^3y^2 = 0$ となり、最大値とはならない。

したがって、$x=3y$ の場合を考える。

制約条件 $x+2y-10=0$ に $x=3y$ を代入する。

$3y+2y-10=0$

$5y=10$

$y=2$

$x=3y = 3(2) = 6$

したがって、$x=6$, $y=2$ である。

3. 最終的な答え

$x=6$, $y=2$ のとき、目的関数 $x^3y^2$ は最大値をとる。

最大値は $6^3 \cdot 2^2 = 216 \cdot 4 = 864$ である。

答え: $x=6, y=2$

最大値：$864$